Matrizes

De GNU Octave
Revisão em 14h42min de 15 de outubro de 2012 por Jgrocha (Discussão | contribs) (Operações sobre matrizes)

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Notação matemática

A notação utilizada em matemática para matrizes introduz a noção de elemento, designado por a_{ij}, a matriz geralmente designada por uma letra maiúscula, A, por exemplo, e a geometria da matriz m \times n, se esta tiver m linhas por n colunas. Seja então a seguinte matriz:


 A_{m,n} =
 \begin{bmatrix}
  a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\
  \vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots  \\
  a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}
 \end{bmatrix}

Notação do Octave

A matriz 
 A =
 \begin{bmatrix}
  1 & 2 & 3 & 4 \\
  5 & 6 & 7 & 8 \\
  9 & 10 & 11 & 12
\end{bmatrix}
representa-se em Octave como:

octave:3> A = [ 1, 2, 3, 4; 5, 4, 6, 8; 9, 10 , 12, 12]
A =
    1    2    3    4
    5    4    6    8
    9   10   12   12

O elemento da matriz na linha 2 e coluna 3 pode ser obtido utilizando a seguinte sintaxe:

octave:4> A(2,3)
ans =  6

Pode-se também obter toda uma linha, ou toda uma coluna. Toda a segunda linha obtém-se com:

octave:5> A(2,:)
ans =
   5   4   6   8

Toda a 4 coluna obtém-se com:

octave:6> A(:,4)
ans =
    4
    8
   12

A geometria da matriz, o número de linhas e de colunas, obtem-se com o operador size.

size(A)
ans =
   3   4

Exercícios

  1. Represente a matriz 
 B =
 \begin{bmatrix}
  0 & \frac{1}{2} & 2^2 \\
  1 & \sqrt(3) & \frac{\sqrt(3)}{3}
\end{bmatrix}
em Octave.
  2. Calcule o número de linhas da matriz. (Só o número de linhas, e não o número de linhas e colunas).
  3. Apresente a matriz com mais casas decimais (comando format).
  4. Crie uma nova matriz C com as colunas 1 e 3 de B.

Matrizes especiais

O comando diag pode criar uma matriz diagonal, se o argumento for o vetor que constitui a diagonal. Exemplo:

octave:22> diag([7 8 9])
ans =
Diagonal Matrix
   7   0   0
   0   8   0
   0   0   9

Alternativamente, o comendo diag devolve o vetor da diagonal de uma matrix.

octave:27> diag(A)
ans =
    1
    4
   12

A matriz identidade é gerada com o comando eye.

octave:34> eye(3)
ans =
Diagonal Matrix
   1   0   0
   0   1   0
   0   0   1

Exercícios

Verifique o resultado das seguintes expressões:

  1. diag(3:3:10)
  2. diag(diag(A))
  3. sum(diag(eye(10)))

Operações sobre matrizes

Considere a matriz 
 A =
 \begin{bmatrix}
  1 & 2 \\
  3 & 4
\end{bmatrix}
, a matriz 
 B =
 \begin{bmatrix}
  1 & -2 \\
  -1 & 0
\end{bmatrix}
e a matriz 
 C =
 \begin{bmatrix}
  2 & -2 \\
  -2 & 2
\end{bmatrix}
.

Soma e produto escalar

Produto de matrizes

Exercícios

  1. Calcule A + B
  2. Calcule A + A
  3. Calcule o produto escalar 2 * B
  4. Calcule o produto A*B
  5. Calcule o produto A*B*C
  6. Prove que o produto de matrizes é associativo (AB)C = A(BC)
  7. Prove que o produto de matrizes é distributivo em relação à soma A(B + C) = AB + AC
  8. Prove que a matriz identidade é o elemento neutro para o produto AI = A e IA = A
  9. Prove que a matriz nula é o elemento absorvente para o produto: 0A = 0 e A0 = 0
  10. Prove que \alpha(AB) = (\alphaA)B = A(\alphaB)

Exercícios

  1. Comprove que a matriz identidade é o elemento neutro para o produto de matrizes, isto é AI = A, IA = A