Diferenças entre edições de "Matrizes"
(→Matriz identidade) |
|||
Linha 20: | Linha 20: | ||
\begin{bmatrix} | \begin{bmatrix} | ||
1 & 2 & 3 & 4 \\ | 1 & 2 & 3 & 4 \\ | ||
− | 5 & | + | 5 & 4 & 6 & 8 \\ |
− | 9 & 10 & | + | 9 & 10 & 12 & 12 |
\end{bmatrix} | \end{bmatrix} | ||
</math> | </math> |
Revisão das 09h31min de 8 de outubro de 2013
Índice
Notação matemática
A notação utilizada em matemática para matrizes introduz a noção de elemento, designado por , a matriz geralmente designada por uma letra maiúscula, , por exemplo, e a geometria da matriz , se esta tiver linhas por colunas. Seja então a seguinte matriz:
Notação do Octave
A matriz representa-se em Octave como:
octave:3> A = [ 1, 2, 3, 4; 5, 4, 6, 8; 9, 10 , 12, 12] A = 1 2 3 4 5 4 6 8 9 10 12 12
O elemento da matriz na linha 2 e coluna 3 pode ser obtido utilizando a seguinte sintaxe:
octave:4> A(2,3) ans = 6
Pode-se também obter toda uma linha, ou toda uma coluna. Toda a segunda linha obtém-se com:
octave:5> A(2,:) ans = 5 4 6 8
Toda a 4 coluna obtém-se com:
octave:6> A(:,4) ans = 4 8 12
A geometria da matriz, o número de linhas e de colunas, obtem-se com o operador size.
size(A) ans = 3 4
Exercícios
- Represente a matriz em Octave.
octave:1> B = [0 1/2 2^2; 1 sqrt(3) sqrt(3)/3] B = 0.00000 0.50000 4.00000 1.00000 1.73205 0.57735
-
Calcule o número de linhas da matriz. (Só o número de linhas, e não o número de linhas e colunas).
octave:7> size(B)(1) ans = 2
-
Apresente a matriz com mais casas decimais.
octave:9> format long octave:10> B B = 0.000000000000000 0.500000000000000 4.000000000000000 1.000000000000000 1.732050807568877 0.577350269189626
-
Crie uma nova matriz C com as colunas 1 e 3 de B.
octave:11> C = B(:,[1 3]) C = 0.000000000000000 4.000000000000000 1.000000000000000 0.577350269189626
Matrizes especiais
O comando diag pode criar uma matriz diagonal, se o argumento for o vetor que constitui a diagonal. Exemplo:
octave:22> diag([7 8 9]) ans = Diagonal Matrix 7 0 0 0 8 0 0 0 9
Repare que o argumento de diag é um vetor, no exemplo apresentado, e o resultado é uma matriz.
Alternativamente, o comando diag devolve o vetor da diagonal de uma matriz, se o argumento for uma matriz.
octave:18> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 octave:19> diag(A) ans = 1 5 9
Matriz identidade
A matriz identidade é gerada com o comando eye(n).
octave:34> eye(3) ans = Diagonal Matrix 1 0 0 0 1 0 0 0 1
Matriz nula
A matriz nula (com todos os elementos a zero) é gerada com o comando zeros.
octave:26> zeros(2) ans = 0 0 0 0 octave:27> zeros(2,4) ans = 0 0 0 0 0 0 0 0
Exercícios
Considere de novo a matriz
Verifique o resultado das seguintes expressões:
- Calcule diag(3:3:10)
octave:28> diag(3:3:10) ans = Diagonal Matrix 3 0 0 0 6 0 0 0 9
-
Calcule diag(diag(A)).
octave:30> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 octave:31> diag(diag(A)) ans = Diagonal Matrix 1 0 0 0 6 0 0 0 11
-
Calcule sum(diag(eye(10))).
octave:32> sum(diag(eye(10))) ans = 10
Operações sobre matrizes
Considere a matriz , a matriz e a matriz .
Soma e produto escalar
Produto de matrizes
Exercícios
- Calcule A + B
- Calcule A + A
- Calcule o produto escalar 2 * B
- Comprove que o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B
- Calcule o produto A*B
- Calcule o produto A*B*C
- Prove que o produto de matrizes é associativo (AB)C = A(BC)
- Prove que o produto de matrizes é distributivo em relação à soma A(B + C) = AB + AC
- Prove que a matriz identidade é o elemento neutro para o produto AI = A e IA = A. Use I = eye(2) para gerar a matriz I.
- Prove que a matriz nula é o elemento absorvente para o produto: OA == AO == O. Use O = zeros(2) para gerar a matriz nula O. Neste exercício, use a letra ó maiúscula (O) para representar a matriz nula, e não o número zero (0). Se usar o número zero, em vez do ó maiúsculo (O), está a multiplicar o escalar zero por uma matriz, e não a matriz nula.
- Prove que (AB) = (A)B = A(B). Use um valor real qualquer como , à sua escolha.
Mais operações
Transposta
A matriz transposta de A representa-se matematicamente como . Por definição .
Se a matriz diz-se simétrica.
Em Octave, a matriz transposta representa-se por A'
Exercícios
- Prove que
- Prove que
- Prove que
- Prove que